Линейная регрессия

Под линейной регрессионной моделью для временных рядов понимается следующее соотношение:

Xt = A0 + A1 * Y1t + … + Ak * Ykt + errt

Где:

Xt. Объясняемая переменная;
Y1, …, Ykt. Соответствующие независимые (объясняющие) переменные;
errt. Возмущение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией δ2, значения которого в различные моменты времени независимы и одинаково распределены (иначе, «белый шум»).

В этой модели k+1 неизвестных параметра A0, A1, …, Ak, δ2, которые должны быть оценены по имеющимся данным об изучаемом процессе.

Специфика регрессионных моделей

Специфика построения регрессионных моделей для временных рядов состоит в возможном присутствии линейной зависимости (высокой степенью корреляции) между объясняющими переменными.

Если зависимость есть, то вычислительные процедуры будут обладать мультиколлинеарностью и плохой обусловленностью, а оценки коэффициентов модели - плохими статистическими свойствами.

В данной системе для оценки параметров регрессии используется метод главных компонент, который может быть отнесен к числу робастных (устойчивых) методов. В нем в качестве новых переменных используются линейные комбинации объясняющих переменных, выбранные так, чтобы корреляции между новыми переменными были малы или отсутствовали, что позволяет обойти указанную трудность.

Построение прогноза

После оценки неизвестных параметров можно приступить к прогнозированию динамики исследуемого ряда, которое предполагает, что должны быть известны в будущем или спрогнозированы значения факторных рядов.

Xt+1 = A0 + A1 * Y1t+1 + … + Ak * Ykt+T

Где T – период упреждения.

Характеристики модели

Одной из характеристик качества регрессионной модели может служить коэффициент детерминации, либо его модификация - скорректированный коэффициент детерминации, который является несмещенной оценкой истинного коэффициента детерминации.

Оценки коэффициентов модели имеют (в асимптотике) распределение Стьюдента. На этом основана проверка гипотезы о равенстве коэффициентов нулю и построение доверительных границ для коэффициентов.

Для проверки наличия автокорреляции остатков обычно применяют коэффициент Дарбина-Уотсона (наличие или отсутствие корреляции по времени в ошибках системы).

См. также:

Библиотека методов и моделей