Рассмотрим модель р-го порядка:
Где:
yt. k-мерный вектор нестационарных переменных;
xt. d-мерный вектор экзогенных переменных;
et. k-мерный вектор случайных составляющих.
Модель можно представить в виде:
Где:
Ключевая теорема Гранжера гласит, что если матрица П имеет неполный ранг r<k, то существуют kxr матрицы α и β, каждая ранга r, такие, что П = α · βT, ряд βT является стационарным, и каждый столбец матрицы β является коинтеграционным вектором, r - число коинтеграционных связей. Элементы матрицы α называют сглаживающими параметрами модели коррекции ошибок.
Если у вас имеется k эндогенных переменных (каждая из которых содержит единичный корень), то может существовать от нуля до k-1 линейно независимой коинтеграционной связи. Если коинтеграционных связей нет, к ряду в первых разностях может быть применен стандартный анализ временных рядов. И наоборот, если в системе имеется одно коинтеграционное уравнение, в каждое уравнение системы должна быть добавлена одна линейная комбинация эндогенных переменных βTyt-1. После умножения на коэффициент уравнения (т.е. на сглаживающий параметр α) получается результирующая составляющая α · βT · yt-1, которая и является составляющей коррекции ошибок. Каждое следующее коинтеграционное уравнение будет вносить дополнительную составляющую коррекции ошибок, уникальную по линейной комбинации параметров.
Если существует k коинтеграционных связей, то ни один из рядов не имеет единичного корня и модель может быть описана без взятия разностей.
Изучаемые ряды могут содержать ненулевое среднее, или тренд. Аналогично коинтеграционные уравнения могут содержать константу и тренд. На практике чаще используются следующие виды моделей:
| Ряд y | Коинтеграционные уравнения | Модель |
| Тренда нет | Константы нет |  |
| Тренда нет | Константа есть |  |
| Линейный тренд | Константа есть |  |
| Линейный тренд | Линейный тренд |  |
| Квадратичный тренд | Линейный тренд |  |
α' - матрица, рассчитывающаяся из соотношения αT · α, = 0
В рамках такой схемы, при построении модели, можно варьировать два параметра. Можно фиксировать вид модели и варьировать ранг. Или наоборот, фиксировать ранг и выбирать наиболее подходящую форму модели. При построении помимо статистических критериев следует руководствоваться экономической адекватностью модели. Следует обратить внимание на нормализованные коинтеграционные уравнения, чтобы убедится в том, что они отвечают вашим ожиданиям о природе рассматриваемого процесса.
Модель также может быть приведена к более общему виду:
См. также:
Библиотека методов и моделей | Коинтегрированные процессы | Модель коррекции ошибок | Модель «Векторная модель коррекции ошибок» | ISmErrorCorrectionModel