Экспоненциальное сглаживание является одним из наиболее распространенных приемов, используемых для сглаживания временных рядов, а также для прогнозирования. В основе процедуры сглаживания лежит расчёт экспоненциальных скользящих средних сглаживаемого ряда.
Главное достоинство прогнозной модели, основанной на экспоненциальных средних, состоит в том, что она способна последовательно адаптироваться к новому уровню процесса без значительного реагирования на случайные отклонения.
Исторически метод независимо был разработан Брауном и Холтом. Холт также разработал модели экспоненциального сглаживания для процессов с постоянным уровнем, процессов с линейным ростом и процессов с сезонными эффектами.
Процедура простого экспоненциального сглаживания осуществляется по следующим формулам:
где:
Xt-1. Фактическое наблюдение в момент t-1;
St. Значение экспоненциального среднего в момент t;
α. Параметр сглаживания, α = const, α ϵ (0; 1].
Экспоненциальное среднее в момент t здесь выражено как взвешенная сумма текущего наблюдения и экспоненциального среднего прошлого наблюдения с весами α и (1 - α) соответственно. Если последовательно использовать данное рекуррентное соотношение, то значение St можно выразить через значения временного ряда X:
Таким образом, величина St оказывается взвешенной суммой всех членов ряда. Причем значения весов уменьшаются экспоненциально в зависимости от удаленности наблюдения относительно момента t. Это и объясняет название «экспоненциальное среднее».
Экспоненциальное сглаживание можно представить как фильтр, на вход которого в виде потока последовательно поступают члены исходного ряда, а на выходе формируются значения экспоненциальных средних. Причем, сглаженный ряд St имеет тоже математическое ожидание, что и ряд X, но меньшую дисперсию.
При высоком значении α дисперсия сглаженного ряда не значительно отличается от дисперсии ряда X. Чем меньше α, тем в большей степени сокращается дисперсия сглаженного ряда (то есть подавляются колебания исходного ряда).
Далее экспоненциальное среднее можно использовать для построения краткосрочных прогнозов. В этом случае предполагается, что исходный ряд описывается моделью:
где:
at. Изменяющийся во времени средний уровень ряда;
errt. Случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым математическим ожиданием.
Прогнозная модель имеет вид:
где:
. Прогноз, сделанный в момент T на τ единиц времени (шагов) вперед;
. Оценка aT.
Оценкой параметра модели aT служит экспоненциальное среднее ряда ST. Таким образом, все свойства экспоненциального среднего распространяются на прогнозную модель. В частности, если привести рекуррентную формулу к следующему виду:
и рассматривать St-1 как прогноз на один шаг вперед, то величина (Xt-1 - St-1) есть погрешность этого прогноза, а новый прогноз St получается в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки. В этом и состоит сущность адаптации.
На основе простого экспоненциального сглаживания были разработаны более сложные модели сглаживания временных рядов, содержащих периодические сезонные колебания и/или обладающих тенденцией роста.
Данная система позволяет строить наряду с простым экспоненциальным сглаживанием модели, отражающие эффекты роста (линейного, экспоненциального или затухающего) и сезонности (аддитивного или мультипликативного), которыми обладает исходный ряд.
В общем виде рекуррентная формула экспоненциального сглаживания записывается следующим образом:
где множители d1 и d2 определяются в зависимости от выбранной модели сглаживания. К примеру, при простом экспоненциальном сглаживании, рассмотренном выше, d1 = Xt, d2 = St-1.
См. также:
Модель с сезонными эффектами | Модели роста | Метод наилучшей пробы | Контейнер моделирования: модель «Экспоненциальное сглаживание» | Анализ временных рядов: «Экспоненциальное сглаживание» | IModelling.Expsmooth | ISmExponentialSmoothing