Модель ARIMA - одна из наиболее популярных моделей для построения краткосрочных прогнозов. Для описания данной модели используются три группы параметров, описанные ниже.
Процесс авторегрессии p-го порядка в его классическом понимании может быть представлен в форме:
или:
где:
L.
Лаговый оператор: 
;
.
Коэффициенты авторегрессии.
Также может быть рассмотрена модель, в которой некоторые авторегрессионные коэффициенты предполагаются равными нулю. При таких условиях зависимость, к примеру, текущего значения yt только от yt-4 будет описана моделью:
или:
Процесс скользящего среднего q-го порядка в его классическом понимании может быть представлен в форме:
или
где:
{θ1; θ2; …; θq}. Коэффициенты скользящего среднего.
Процесс также может быть смоделирован при равенстве нулю некоторых отдельных коэффициентов, например:
Модель ARIMA может учитывать и сезонную авторегрессию. Так для квартальной сезонности модель с авторегрессией p-го порядка с учетом сезонной авторегрессии первого порядка будет следующая:
где:
β. Коэффициент сезонной авторегрессии первого порядка.
При p = 0, т.е. при отсутствии несезонной авторегрессии, модель с сезонной авторегрессией трансформируется в простую авторегрессионную модель вида:
Сезонное скользящее среднее первого порядка, по аналогии с сезонной авторегрессией, для кварталов рассчитывается по формуле:
где:
ω. Коэффициент сезонного скользящего среднего первого порядка.
Параметры описанных групп позволяют построить модель ARMA (модель авторегрессионного скользящего среднего):
где:
L. Лаговый оператор;
. Коэффициенты авторегрессии p-го порядка;
{β1; β2; …}. Коэффициенты сезонной авторегрессии;
{θ1; θ2; …; θq}. Коэффициенты скользящего среднего q-го порядка;
{ω1; ω2; …}. Коэффициенты сезонного скользящего среднего;
{P1; P2; …}. Определяются как период сезонности, умноженный на порядок сезонной авторегрессии;
{Q1; Q2; …}. Определяются как период сезонности, умноженный на порядок сезонной авторегрессии.
Модель ARIMA (модель проинтегрированного авторегрессионного скользящего среднего) является обобщением модели ARMA и строится в два этапа:
Дифференцирование исходного ряда (если это необходимо).
Описание продифференцированного ряда с помощью модели ARMA.
Необходимость дифференцирования исходного ряда возникает при отсутствии стационарности. Например, при наличии ярко выраженной тенденции к росту. В данном случае более правильно применять модель ARMA к ряду, содержащему значения прироста исходного ряда.
Обычный оператор дифференцирования выглядит следующим образом:
где d - порядок дифференцирования.
При дифференцировании данных можно учесть их сезонность. Пример дифференцирования квартальных данных:
где:
d. Порядок несезонного дифференцирования;
D. Порядок сезонного дифференцирования;
s. Период сезонности.
Задавая порядок несезонного дифференцирования равным нулю, можно использовать только сезонное дифференцирование:
Сезонные и несезонные параметры должны удовлетворять неравенству:
C − (p + P + D + D·s) > 1
где:
C. Длина исходного ряда;
p. Максимальный порядок авторегрессии;
P. Максимальный порядок сезонной авторегрессии;
d. Разность;
D. Сезонная разность;
s. Период сезонности.
При наличии пропусков внутри исходного ряда количество используемых для расчета значений уменьшается на n·(p + P + D + D·s), где n - количество пропусков в исходном ряде.
Модель ARIMA предполагает, что ϵt - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих нормальное распределение вероятностей с нулевым математическим ожиданием и некоторой дисперсией σ2. Если после оценивания параметров это предположение не выполняется, то выбранная спецификация модели некорректна.
Необходимо отметить, что модель ARMA предполагает стационарность моделируемого ряда. В таком случае все корни характеристических уравнений для процессов авторегрессии и скользящего среднего должны лежать внутри единичного круга в комплексной плоскости.
Корни для AR-процесса находятся из уравнения:
Корни для MA-процесса находятся из уравнения
Если после оценивания параметров предположение о том, что корни лежат внутри единичного круга, не выполняется, то полученный процесс является нестационарным.
См. также:
Библиотека методов и моделей | Модель регрессии с авторегрессионными остатками и скользящим средним | Оценка коэффициентов модели ARIMA | Контейнер моделирования: модель «ARIMA» | Анализ временных рядов: ARIMA | IModelling.Arima | ISmLinearRegress