Квантильная регрессия

Квантильная регрессия - процедура оценки параметров линейной зависимости между объясняющими переменными и заданным уровнем квантили объясняемой переменной. В отличие от обычного метода наименьших квадратов, квантильная регрессия является непараметрическим методом. Это позволяет получить больше информации: параметры регрессии для любых квантилей распределения зависимой переменной. Кроме того, такая модель значительно менее чувствительна к выбросам в данных и к нарушениям предположений о характере распределений.

Пусть Y - случайная переменная с функцией распределения вероятностей F(y) = Prob(Y ≤ y). Тогда квантилем уровня τ, где 0 < τ <1, будет являться наименьшая величина Y, удовлетворяющая условию F(y) > τ:

Q(τ) = inf{y:F(y) ≥ τ}

Учитывая набор n наблюдений по переменной Y, традиционная эмпирическая функция распределения определяется по формуле:

Где I(Yi < y) индикатор функции, который дает значение 1, если аргумент принимает значение ПРАВДА и 0, если ЛОЖЬ.

Соответствующий эмпирический квантиль определяется по следующей формуле:

Qn(τ) = inf{y:Fn(y) ≥ τ}

Эквивалентна запись в виде задачи оптимизации:

Где ρτ(u) = u(τ - I(u < 0)) - функция, по-разному взвешивающая положительные и отрицательные значения Yi y.

Квантильная регрессия расширяет данную задачу, позволяя учитывать регрессоры.

Пусть условные квантили заданных значений переменной Y линейно зависят от вектора объясняющих переменных Х:

Q(τ|Xi,β(τ)) = X̕i,β(τ)

Где β(τ) - это вектор коэффициентов, соответствующих квантилю τ. Тогда задача безусловной минимизации выглядит следующим образом:

Данная задача решается с помощью модифицированного симплекс-метода.

Статистики квантильной регрессии

Разреженность наблюдений

Один из вариантов оценки разреженности наблюдений:

s(τ) = X*'(β(τ + h) - β(τ - h))/(2h),

где:

В простейшем случае: X* = X̅ - вектор средних значений объясняющих переменных.

h вычисляется по формуле:

,

где zα = Φ-1(1 - α/2), α – уровень значимости.

Ковариационная матрица

Для точного расчета матрицы необходимо значение разряженности наблюдений. При приближенной оценке оно не требуется.

Для расчёта обычной ковариации с помощью гипотезы НОРСВ (независимых одинаково распределённых случайных величин, англ. Ordinary(IID) covariance) используется формула:

cov(β) = s2(X'X)-1,

где s2 = τ(1 - τ)s(τ)2 - дисперсия ошибок.

Значение ограниченной целевой функции

Для вычисления необходимо рассчитать квантильную регрессию вида y = c, где c  - константа. Минимальное значение целевой функции будет необходимым значением.

Значение целевой функции заданной модели

Для вычисления необходимо рассчитать квантильную регрессию, описанную выше.

Квантиль объясняемой переменной

Для вычисления необходимо рассчитать квантильную регрессию вида y = c, где c  - константа. Оцененный коэффициент модели будет необходимым значением.

Псевдокоэффициент детерминации

Рассчитывается по формуле:

Pseudo R2 = 1 - objective/restr.objective,

где:

Скорректированный (adjusted) коэффициент детерминации

Рассчитывается по формуле:

,

где:

См. также:

Библиотека методов и моделей | ISmQuantileRegression