ARIMA

Модель ARIMA - одна из наиболее популярных моделей для построения краткосрочных прогнозов. Для описания данной модели используются три группы параметров, описанные ниже.

Параметры несезонных авторегрессии AR(p) и скользящего среднего MA(q)

Процесс авторегрессии p-го порядка в его классическом понимании может быть представлен в форме:

или:

где:

• L. Лаговый оператор: ;

• . Коэффициенты авторегрессии.

Также может быть рассмотрена модель, в которой некоторые авторегрессионные коэффициенты предполагаются равными нулю. При таких условиях зависимость, к примеру, текущего значения yt только от yt-4 будет описана моделью:

или:

Процесс скользящего среднего q-го порядка в его классическом понимании может быть представлен в форме:

или

где:

• {θ1; θ2; …; θq}. Коэффициенты скользящего среднего.

Процесс также может быть смоделирован при равенстве нулю некоторых отдельных коэффициентов, например:

Параметры сезонной авторегрессии SAR(P) и сезонного скользящего среднего SMA(Q)

Модель ARIMA может учитывать и сезонную авторегрессию. Так для квартальной сезонности модель с авторегрессией p-го порядка с учетом сезонной авторегрессии первого порядка будет следующая:

где:

• β. Коэффициент сезонной авторегрессии первого порядка.

При p = 0, т.е. при отсутствии несезонной авторегрессии, модель с сезонной авторегрессией трансформируется в простую авторегрессионную модель вида:

Сезонное скользящее среднее первого порядка, по аналогии с сезонной авторегрессией, для кварталов рассчитывается по формуле:

где:

• ω. Коэффициент сезонного скользящего среднего первого порядка.

Параметры описанных групп позволяют построить модель ARMA (модель авторегрессионного скользящего среднего):

где:

• L. Лаговый оператор;

• . Коэффициенты авторегрессии p-го порядка;

• {β1; β2; …}. Коэффициенты сезонной авторегрессии;

• {θ1; θ2; …; θq}. Коэффициенты скользящего среднего q-го порядка;

• {ω1; ω2; …}. Коэффициенты сезонного скользящего среднего;

• {P1; P2; …}. Определяются как период сезонности, умноженный на порядок сезонной авторегрессии;

• {Q1; Q2; …}. Определяются как период сезонности, умноженный на порядок сезонной авторегрессии.

Модель ARIMA (модель проинтегрированного авторегрессионного скользящего среднего) является обобщением модели ARMA и строится в два этапа:

1. Дифференцирование исходного ряда (если это необходимо).

2. Описание продифференцированного ряда с помощью модели ARMA.

Необходимость дифференцирования исходного ряда возникает при отсутствии стационарности. Например, при наличии ярко выраженной тенденции к росту. В данном случае более правильно применять модель ARMA к ряду, содержащему значения прироста исходного ряда.

Параметры дифференцирования исходного ряда: d, D, s

Обычный оператор дифференцирования выглядит следующим образом:

где d - порядок дифференцирования.

При дифференцировании данных можно учесть их сезонность. Пример дифференцирования квартальных данных:

где:

• d. Порядок несезонного дифференцирования;

• D. Порядок сезонного дифференцирования;

• s. Период сезонности.

Задавая порядок несезонного дифференцирования равным нулю, можно использовать только сезонное дифференцирование:

Особенности модели

Сезонные и несезонные параметры должны удовлетворять неравенству:

C − (p + P + D + D·s) > 1

где:

• C. Длина исходного ряда;

• p. Максимальный порядок авторегрессии;

• P. Максимальный порядок сезонной авторегрессии;

• d. Разность;

• D. Сезонная разность;

• s. Период сезонности.

При наличии пропусков внутри исходного ряда количество используемых для расчета значений уменьшается на n·(p + P + D + D·s), где n - количество пропусков в исходном ряде.

Модель ARIMA предполагает, что ϵt - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих нормальное распределение вероятностей с нулевым математическим ожиданием и некоторой дисперсией σ2. Если после оценивания параметров это предположение не выполняется, то выбранная спецификация модели некорректна.

Необходимо отметить, что модель ARMA предполагает стационарность моделируемого ряда. В таком случае все корни характеристических уравнений для процессов авторегрессии и скользящего среднего должны лежать внутри единичного круга в комплексной плоскости.

Корни для AR-процесса находятся из уравнения:

Корни для MA-процесса находятся из уравнения

Если после оценивания параметров предположение о том, что корни лежат внутри единичного круга, не выполняется, то полученный процесс является нестационарным.

См. также:

Библиотека методов и моделей | Модель регрессии с авторегрессионными остатками и скользящим средним | Оценка коэффициентов модели ARIMA | Контейнер моделирования: модель «ARIMA» | Анализ временных рядов: ARIMA | IModelling.Arima |  ISmLinearRegress