В общем случае модель имеет вид:
t = 1 … T
Где:
T. Число наблюдений;
βk. k =1 … n. Оцениваемые коэффициенты при объясняющих переменных;
xk. k =1 … n. Объясняющие переменные;
et. Остатки;
yt. Объясняемая переменная.
В матричной форме модель может быть записана как: Y = Xβ + C + ε.
Если константа C задана (нулевое или ненулевое значение), то можно преобразовать модель посредством замены Y → Y + C к классическому виду: Y =Xβ + ε.
Если константу требуется оценить, то вводя дополнительную искусственную переменную со значением «1» во всех наблюдениях и, соответственно, формируя расширенную матрицу X посредством добавления к матрице X единичного столбца, также сводим модель к классическому виду: Y =Xβ + ε.
При этом подразумеваем замену n → n + 1. Для оценивания коэффициентов β или β = (β, C) используем МНК, либо метод сингулярного разложения.
При этом, особо рассматривается случай мультиколлинеарности, когда матрица X'X либо, соответственно, X'X близка к вырожденной (абсолютная величина определителя мала). В этих случаях оценка коэффициентов неоднозначна вследствие линейной зависимости столбцов матрицы X или X. Для получения однозначной оценки исключаем столбцы из матрицы X до тех пор, пока она (или соответствующая матрица X) не станет иметь максимальный ранг.
Дополнительные характеристики модели. Коэффициент детерминации:
Где:
y* = τYi;
e = Y - Ŷ;
;
i. Единичный столбец;
τ = 1 в случае автооценивания константы, τ = 0 в случае ручного оценивания.
Исправленный коэффициент детерминации (не определено при T = n):
Значение статистики Фишера:
См. также: