Экспоненциальное сглаживание

Экспоненциальное сглаживание является одним из наиболее распространенных приемов, используемых для сглаживания временных рядов, а также для прогнозирования. В основе процедуры сглаживания лежит расчёт экспоненциальных скользящих средних сглаживаемого ряда.

Главное достоинство прогнозной модели, основанной на экспоненциальных средних, состоит в том, что она способна последовательно адаптироваться к новому уровню процесса без значительного реагирования на случайные отклонения.

Исторически метод независимо был разработан Брауном и Холтом. Холт также разработал модели экспоненциального сглаживания для процессов с постоянным уровнем, процессов с линейным ростом и процессов с сезонными эффектами.

Процедура простого экспоненциального сглаживания осуществляется по следующим формулам:

где:

Xt-1. Фактическое наблюдение в момент t-1;
St. Значение экспоненциального среднего в момент t;
α. Параметр сглаживания, α = const, α ϵ (0; 1].

Экспоненциальное среднее в момент t здесь выражено как взвешенная сумма текущего наблюдения и экспоненциального среднего прошлого наблюдения с весами α и (1 - α) соответственно. Если последовательно использовать данное рекуррентное соотношение, то значение St можно выразить через значения временного ряда X:

Таким образом, величина St оказывается взвешенной суммой всех членов ряда. Причем значения весов уменьшаются экспоненциально в зависимости от удаленности наблюдения относительно момента t. Это и объясняет название «экспоненциальное среднее».

Экспоненциальное сглаживание можно представить как фильтр, на вход которого в виде потока последовательно поступают члены исходного ряда, а на выходе формируются значения экспоненциальных средних. Причем, сглаженный ряд St имеет тоже математическое ожидание, что и ряд X, но меньшую дисперсию.

При высоком значении α дисперсия сглаженного ряда не значительно отличается от дисперсии ряда X. Чем меньше α, тем в большей степени сокращается дисперсия сглаженного ряда (то есть подавляются колебания исходного ряда).

Далее экспоненциальное среднее можно использовать для построения краткосрочных прогнозов. В этом случае предполагается, что исходный ряд описывается моделью:

где:

at. Изменяющийся во времени средний уровень ряда;
errt. Случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым математическим ожиданием.

Прогнозная модель имеет вид:

где:

. Прогноз, сделанный в момент T на τ единиц времени (шагов) вперед;
. Оценка a_T.

Оценкой параметра модели aT служит экспоненциальное среднее ряда ST. Таким образом, все свойства экспоненциального среднего распространяются на прогнозную модель. В частности, если привести рекуррентную формулу к следующему виду:

и рассматривать St-1 как прогноз на один шаг вперед, то величина (Xt-1 - St-1) есть погрешность этого прогноза, а новый прогноз St получается в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки. В этом и состоит сущность адаптации.

На основе простого экспоненциального сглаживания были разработаны более сложные модели сглаживания временных рядов, содержащих периодические сезонные колебания и/или обладающих тенденцией роста.

Данная система позволяет строить наряду с простым экспоненциальным сглаживанием модели, отражающие эффекты роста (линейного, экспоненциального или затухающего) и сезонности (аддитивного или мультипликативного), которыми обладает исходный ряд.

В общем виде рекуррентная формула экспоненциального сглаживания записывается следующим образом:

где множители d1 и d2 определяются в зависимости от выбранной модели сглаживания. К примеру, при простом экспоненциальном сглаживании, рассмотренном выше, d1 = Xt, d2 = St-1.

См. также: